2.7 Конденсатор в цепи переменного тока
Допустим, к конденсатору (ёмкостному элементу) приложено переменное напряжение:
\[ u_C(t) = U_m \sin \left ( \omega t + \psi _u \right ). \]
Найдём ток:
\[ i_C(t) = \frac {dq}{dt} = C \frac {du_C}{dt} = \omega C U_m \cos \left ( \omega t + \psi _u \right ) = \omega C U_m \sin \left ( \omega t + \psi _u + \frac {\pi }{2} \right ), \]
или
\[ i_C(t) = I_m \sin \left ( \omega t + \psi _i \right ), \]
откуда следует, что
\[ I_m = \omega C U_m, \]
разделив на \(\sqrt 2\), получим
\[ I = \omega C U, \]
или
\[ I = b_C U = \frac {U}{X_C}, \]
где \(b_C\) и \(X_C\) – ёмкостные проводимость и сопротивление соответственно. То есть
амплитудные и действующие значения тока и напряжения на ёмкости связаны
законом Ома.
Начальные фазы тока и напряжения отличаются, а угол сдвига фаз:
\[ \varphi = \psi _u - \psi _i = -\frac {\pi }{2} = -90^\circ . \]
Запишем ток в комплексной форме:
\[ \dI = I e^{j \psi _i} = \omega C U e^{j ( \psi _u + 90^\circ ) } = \omega C U e^{j\psi _u} e^{j90^\circ } = j \omega C U e^{j\psi _u} = j \omega C \dU , \]
то есть в комплексной форме ток и напряжение тоже связаны законом Ома, а
комплексная ёмкостная проводимость равна \(j \omega C\), ёмкостное комплексное
сопротивление \(-j\frac {1}{\omega C}\).
На ёмкости активная мощность равна нулю:
\[ P = \frac 1T \int \limits _0^T ui dt = 0. \]
Реактивная мощность:
\[ Q = -UI = -I^2 X_C = -I^2/b_C = -U^2 b_C = -U^2 / X_C, \]
для ёмкости условно принимается всегда отрицательной, т.е. ёмкость условно
«вырабатывает» реактивную мощность, то есть является источником
реактивной энергии.