2.8 Индуктивность в цепи переменного тока
Допустим, через индуктивность протекает переменный ток:
\[ i_L(t) = I_m \sin \left ( \omega t + \psi _i \right ). \]
Найдём напряжение:
\[ u_L(t) = \frac {d\Psi }{dt} = L \frac {di_L}{dt} = \omega L I_m \cos \left ( \omega t + \psi _i \right ) = \omega L I_m \sin \left ( \omega t + \psi _i + \frac {\pi }{2} \right ), \]
(\(\Psi \) – потокосцепление) или
\[ u_L(t) = U_m \sin \left ( \omega t + \psi _u \right ), \]
откуда следует, что
\[ U_m = \omega L I_m, \]
разделив на \(\sqrt 2\), получим
\[ U = \omega L I, \quad I = \frac {U}{\omega L}, \]
или
\[ I = b_L U = \frac {U}{X_L}, \]
где \(b_L\) и \(X_L\) – индуктивные проводимость и сопротивление соответственно. То есть
амплитудные и действующие значения тока и напряжения на индуктивности
связаны законом Ома.
Начальные фазы тока и напряжения отличаются, а угол сдвига фаз:
\[ \varphi = \psi _u - \psi _i = \frac {\pi }{2} = 90^\circ . \]
Запишем напряжение в комплексной форме:
\[ \dU = U e^{j \psi _u} = \omega L I e^{j ( \psi _i + 90^\circ ) } = \omega L I e^{j\psi _i} e^{j90^\circ } = j \omega L I e^{j\psi _i} = j \omega L \dI , \]
то есть в комплексной форме ток и напряжение тоже связаны законом Ома, а
индуктивное комплексное сопротивление равно \(j \omega L\), полная индуктивная
проводимость \(-j\frac {1}{\omega L}\).
На индуктивности активная мощность равна нулю:
\[ P = \frac 1T \int \limits _0^T ui dt = 0. \]
Реактивная мощность:
\[ Q = UI = I^2 X_L = I^2/b_L = U^2 b_L = U^2 / X_L, \]
на индуктивности реактивная мощность условно считается положительной, т.е.
индуктивность «потребляет» реактивную мощность.