Портал ТОЭ

1.5 Особенности протекания гармонического тока в элементах электрической цепи

При наличии источника электрической энергии, вырабатывающего гармоническое напряжение, в линейной цепи протекает гармонический ток, а к отдельным элементам цепи прикладывается гармоническое напряжение. Однако, начальные фазы напряжения и тока могут быть различными.

Рассмотрим пример:

{ u = Um sin(ωt + ψu ), i = Im sin (ωt + ψi).

Начальные фазы отсчитываются от момента, соответствующего началу синусоиды (переход от отрицательных к положительным значениям), до момента t = 0.

Вводится понятие угла сдвига фаз между напряжением и током:

|----------------| |φ = ψu − ψi. | -----------------

Определим кривые u и i на элементах R, L, C.

1. Если к сопротивлению R подвести u = U_m sin(ωt + ψ), в цепи потечёт ток

u U i = ---= --m-sin (ωt + ψ ) = Im sin(ωt + ψ ). R R

u_R и i совпадают по фазе на резисторе

φ = 0 .

Рис. 1.10:

Законом Ома связаны не только мгновенные, но и максимальные, и действующие значения:

U = RI = Im-; U = RI = I-. m m g g

Мгновенная мощность, посупающая в сопротивление

p = ui = U I sin (ωt + ψ )sin(ωt + ψ) = UmIm---[1 − cos 2(ωt + ψ )] ; R m m 2

p = U I [1 − cos 2( ωt + ψ)] > 0. R

Т.е. она состоит из постоянной составляющей и гармонической, изменяющейся с двойной частотой.

Среднее значение мощности за период P = 1-
T ∫ ₀^Tp_Rdt называют активной мощностью и измеряют в ваттах (Вт).

T 1 ∫ P = -- Ri2dt = RI 2 = URIR = U 2g. T R 0

Сопротивление проводника на переменном токе больше, чем на постоянном (из-за поверхностного эффекта, вихревых токов и излучения энергии в пространство), поэтому иногда в отличие от сопротивления на постоянном токе сопротивление на переменном токе называют активным.

2. При подключении индуктивности к источнику тока J = J_m sin(ωt + ψ_J) по ней потечёт ток i = I_mL sin(ωt + ψ_i), где J_m = I_mL, ψ_J = ψ_i.

( ) di- d-- π- uL = L = L [ImL sin (ωt + ψi)] = ωLImL sin ωt + ψi + . dt dt 2

uL = UmL sin (ωt + ψu ),

где U_mL = ωLI_mL, ψ_u = ψ_i + π-
2

Таким образом напряжение на индуктивности опережает ток на π-
2 .

|--------------------| | π- | φ = ψu − ψi = 2 . ----------------------

Величина ωL имеет размерность сопроитвления и называется индуктивным сопротивлением. Обратная ей величина (в отдельных случаях) называется индуктивной проводимостью: X_L = ωL, b_L = 1∕X_L = 1∕ωL.

Параметр X_L учитывает явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность:

UmLImL---- pL = uLiL = UmL cos(ωt + ψi )ImL sin(ωt + ψi ) = 2 sin 2(ωt + ψi),

pL = ULIL sin 2(ωt + ψi ).

Поступающая от источника энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Таки образом происходит колебание энергии между источником и индуктивностью.

Активная мощность

∫T ∫T 1 1 PL = -- pLdt = -- ULIL sin 2(ωt + ψi )dt = 0. T T 0 0

Произведение Q_L = U_LI_L называют реактивной мощностью индуктивности и измеряют в ВАр (вольт-ампер реактивный).

|-----------2---------2-| QL---=-XLI--L-=--bLU--L-.

3. При подключении ёмкости к источнику u_C = U_m sin(ωt + ψ_u) после окончания заряда через неё потечёт ток i_C = Cdu_C∕dt, где u_C = u.

( ) d-- π- iC = CUm [sin (ωt + ψu )] = ωCUm cos (ωt + ψu ) = Im sin ωt + ψu + , dt 2

где I_m = ωCU_m, ψ_i = ψ_u + π-
2

Таким образом на ёмкости ток опережает напряжение по фазе на π-
2 .

|----------------------| | π- | φ = ψu − ψi = − 2 . ------------------------

Величина X_C = 1∕ωC называется ёмкостным сопротивлением. В частном случае b_C = 1∕X_C = ωC – ёмкостная проводимость.

Мгновенная мощность

UmIm--- pC = uC iC = [− Um cos (ωt + ψi)] Im sin(ωt + ψi ) = − 2 sin 2(ωt + ψi ),

pC = − UC IC sin 2 (ωt + ψi).

Поступающая от источника энергия временно запасается в электрическом поле ёмкости, а затем возвращается в источник при исчезновении электрического поля. Таким образом происходит колебание энергии между источником и ёмкостью.

Активная мощность P_C = 0.

Произведение Q_C = U_CI_C = X_CI_C² = b_CU_C² называют реактивной мощностью ёмкости, измеряют в ВАр, но в расчётах используют со знаком �−�.

Сведём результаты параграфа в таблицу.


Обозначение	Мгновенное	Действующее	Мощность	Векторная
	значение	значение		диаграмма

	u_R = Ri i_R = gu_R	U = RI I = gU	P = U_RI_R = = I_R² = U_R²g Q_R = 0

	u_L = L i_L = ∫ u_Ldt	U_L = X_LI_L I_L = b_LU_L X_L = ωL	P = 0 Q_L = U_LI_L = = X_LI_L² = b_LU_L²

	i_C = C u_C = ∫ i_Cdt	U_C = X_CI_C I_C = b_CU_C X_C =	P = 0 Q_C = U_CI_C = = X_CI_C² = b_CU_C²

Назад:
1.4 Комплексное представление …

Вперёд:
1.6 Последовательная цепь, сод…

1.5 Особенности протекания гармонического тока в элементах электрической цепи

Новости

Спонсор