2.12 Аналитический метод расчёта цепей переменного тока

Позволяет определить токи (напряжения) в цепи без применения комплексных чисел. Представляет собой метод свёртывания, т.е. позволяет рассчитать цепи, в которых существует лишь один источник питания.

Схемы замещения двухполюсника

Последовательная схема

PIC PIC PIC

U˙a – активная составляющая напряжения;

 ˙
UL – реактивная составляющая напряжения.

Параллельная схема

PIC PIC PIC

İR – активная составляющая тока;

İL – реактивная составляющая тока.

Условия эквивалентности схем замещения двухполюсника:

  1. Z = 1∕y; y = 1∕Z.
  2. φпослед. схемы = φпаралл. схемы.

Формулы перехода:

  1. y = 1∕Z; g = y cos φ = 1Z- RZ- = R∕Z2; b = y sin φ = X∕Z2.
  2. Z = 1∕y; R = Z cos φ = 1-
y g-
y = g∕y2; x = b∕y2.

Основные положения метода

  1. Активные составляющие напряжений и токов, сопротивлений и проводимостей складываются арифметически.
  2. Реактивные составляющие складываются алгебраически.
  3. Полные величины складываются геометрически (сложением активных и реактивных составляющих).

Пример. Определить токи, построить векторную диаграмму при известных параметрах схемы и входном напряжении.

PIC

а. Участок b-c

PIC

 gbc = 1 ∕R2;

 bbc = 1 ∕XL2;
       ∘  ----------
 ybc =    g2  +  b2;
            bc     bc
              bbc-
φbc  = arctg     .
              gbc

Rbc =  gbc∕y2 ;   Xbc  =  bbc∕y2 ;   Zbc =  1∕ybc.
             bc                 bc

Делаем замену:

PIC

При преобразовании схемы характер реактивного элемента не изменяется.

б. Определяем эквивалентное сопротивление схемы

R экв =  R1  + Rbc;    x экв =  Xbc  − XC1;
         ∘ --2--------2--                   X-экв-
Z экв =    R экв +  X экв;   φэкв =  arctg  R    .
                                              экв

в. Определяем токи

        U              ∘ --------
I1 =  -----;   Zab  =    R2 X  2 ;
      Z экв                1   C1
UR1  =  I1R1;    UC1  =  I1XC1;
U   =  I Z   ;   U   =  I Z   ;
  bc     1  ab     bc     1  bc
       U             U
IR  =  -bc;   IL  =  --bc.
       R2            XL2

Проверка: I12 = IR2 + IL2.

г. Построим векторную диаграмму для произвольно выбранной начальной фазы напряжения ψu.

Пусть φэкв = 0. Строим I1, Ubc под φbc > 0. Векторы напряжений строим против тока: Ubc, UC1, UR1.

I1 =  IR  + IL;
                  
U =  UR1  +  UC1  + Ubc;
       
UR2  =  UXL2 .

PIC