Назад:
2.3 Анализ электрических цепей…

Вперёд:
2.5 Метод узловых потенциалов…


2.4 Анализ электрических цепей методом контурных токов

Ток в любой ветви можно представить составленным из нескольких токов, каждый из которых замыкается по своему контуру, оставаясь вдоль него неизменным. Такие составляющие называются контурными токами.

Эти токи (токи ветвей связи) принимаются в качестве независимых переменных. т.е. при анализе рассматриваются главные контуры:

N КТ = N связей = m − (n − 1 ).

На основании закона Ома

[ ] (В ) (В) (В ) (В) (В ) U = ℤ I + J − E .

Умножая левую и правую части уравнения на матрицу B, получим:

B U (В) = O = B ℤ (В)I(В) + B ℤ (В)J(В) − B E (В);

(В) (В) (В) (В) (В) B ℤ I = B E − B ℤ J .

В то же время I(В) = BTI(K);

(В) T (K ) (В ) (В ) (В) B ℤ B I = B E − B ℤ J .

Обозначая ℤ(K) = Bℤ(В)BT – матрица контурных сопротивлений, E(K) = BE(В) − Bℤ(В)J(В) – матрица контурных ЭДС, получим уравнение контурных токов в матричной форме:

|------------------| -ℤ-(K-)I(K)-=--E(K-) .

Развёрнутая форма контурных уравнений:

| | || (K)|| || (K)|| ||Z11 Z12 ⋅⋅⋅ Z1k || |˙I1 | |E˙I 1 | |Z Z ⋅⋅⋅ Z | |˙I(K)| | ˙(K )| |-2.1 -2.2 . -2k. | || 2 || = ||E 2 || . || .. .. .. .. || | ... | | ... | |Z Z ⋅⋅⋅ Z | || (K)|| || (K )|| -k1 -k2 -kk ˙Ik E˙k

Направление обхода контуров совпадает с направлением контурных токов (токов ветвей связи).

Пример.

PIC
Граф схемы
PIC
Дерево графа
PIC

Ветви связи – 2 и 3, n = 2, m = 3.

NK = N св = 2.

Матрица контуров:

| | |− 1 1 0| B = | | . | 1 0 1|

Матрица сопротивлений:

| | ||R1 0 0 || ℝ (В ) = | 0 R2 0 | . || || 0 0 R3

Матрица контурных сопротивлений:

| | | | |− 1 1| | | (K ) ||− R1 R2 0 || || || ||(R1 + R2 ) − R1 || ℝ = | R 0 R | × | 1 0| = | − R (R + R )| . ◟---1--◝ ◜-----3◞ | 0 1| 1 1 3 (В ) ◟ -◝ ◜--◞ Bℝ BT

Матрица контурных ЭДС:

| | | | | | |R1 0 0 | | 0 | | 0 | (В) (В) || || || || || || ℝ J = | 0 R2 0 |× |− J2 |= |− R2J2 |; | 0 0 R3 | | 0 | | 0 |

| | | E1 | (В) (В) (В ) || || E − ℝ J = |R2J2 |. | 0 |

| | || || | | | | |− 1 1 0| | E1 | |(− E + R J )| |E (K)| E (K ) = | | |R2J2 | = | 1 2 2 |= || 1 || . | 1 0 1| || || | E1 | |E (2K)| 0

| || | | | |R11 R12 |||I(K )|| ||E (K)|| || ||| 1(K )| = | 1(K)| . R21 R22 |I2 | |E 2 |

Порядок составления матриц

  1. Матрица контурных токов – столбцовая матрица неизвестных токов.
  2. Матрица контурных сопротивлений – квадратная. На главной диагонали записываются суммы сопротивлений ветвей соответствующих контуров – собственные контурные сопротивления, Zpp > 0.

    Остальные элементы матрицы – общие контурные сопротивления Zij (i≠j) – сопротивления ветвей, общих для контуров i и j; Zij > 0, если İi(K) и İj(K) в общей ветви направлены одинаково, в противном случае Zij < 0.

    Матрица ℤ(K) симметрична, т.е. Zij = Zji.

  3. Матрица контурных ЭДС – столбцовая; Ėi(K) равен сумме ЭДС источников i-го контура, включая ЭДС источников, эквивалентных источникам тока. Ėp(K) > 0, если его направление совпадает с направлением обхода контуров.

После определения контурных токов находятся токи отдельных ветвей с использованием принципа наложения.

Назад:
2.3 Анализ электрических цепей…

Вперёд:
2.5 Метод узловых потенциалов…