Портал ТОЭ

Вперёд:
Глава 2Основные свойства и методы…

1.10 Топологические матрицы графа

Запишем I уравнение Кирхгофа в матричной форме для графа:

N = N = n − 1, I з-н К гл.сеч.

( | +I +I − I = 0 (у зел 1 ){ 1 2 3 -- -- -- (у зел 2 ) − I1 -- -- +I4 -- +I6 = 0 (у зел 3 )|( -- -- +I3 -- − I5 − I6 = 0

Формулировка I закона Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов ветвей (для цепей постоянного тока), соединённых в узле, равна нулю в любой момент времени.

∑-----------|- | | -----Ik-=--0--

Токи, направленные к узлу, учитываются с отрицательным знаком, а от узла – с положительным знаком.

| | | | | |-------|--------В-етви----------| ||I1|| | |1 2 3 4 5 6 | |I | | | |---|---|------------------------| | 2| |0| |У |1 |1 1 -1 0 0 0 | ||I3|| || || |з |2 |-1 0 0 1 0 1 × |I4| = |0|; | | | | || || |0| |л |4 |0 0 1 0 -1 -1 | |I5| |ы | | | |I6|

1.10.1 Узловая матрица

Узловой матрицей (матрицей соединений) A называют таблицу коэффициентов уравнений, составленных по I Закону Кирхгофа для узлов.

Матрица A имеет порядок (n − 1) � m.

A = [aij],

где

a_ij

– элементы матрицы;

– номер строки;

– номер столбца.

Правила составления матрицы A

a_ij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла.

a_ij = −1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу.

a_ij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Если изобразить через I^(В) = | |
|I1|
|| ||
|I2|
| ...|
|| ||
Im – столбцовую матрицу токов всех ветвей, то матричная запись I закона Кирхгофа будет выглядеть, как

(В) A I = O,

где O – столбцовая нулевая матрица, все элементы которой равны 0.

С помощью матрицы A можно выразить напряжения всех ветвей через потенциалы узлов. Для этого элементы k-ой строки матрицы A следует умножить на φ_k – потенциал k-го узла, затем сложить элементы k-го столбца.

Рассмотрим j-ую ветвь. В j-ом столбце матрицы A будет «+1» в k-ой строке и «−1» в l-ой строке.

Напряжение j-ой ветви

Uj = φk − φl.

j-ый столбец


	1	0
	2	0
У
з	k	+1	– элемент матрицы A.
л
ы	l	−1

Введём столбцовую матрицу потенциалов узлов φ порядка (n − 1) � 1. φ_n = 0, т.е. один из узлов заземляем, тем самым делая определённым потенциал одного из узлов. Тогда:

(В ) T U = A ,

где

| | || U1 || | | | U2 | (В) || ... || U = | | – ст ол бцо вая м а три ца н ап ряж е ни й вет вей, || Uj || | ... | | | |Um |

A^T – транспонированная матрица соединений.

Если A = {a_ij} – матрица размером (n − 1) � m, то матрица, транспонированная по отношению к A, есть матрица A^T = {a_ji} размером m � (n − 1).

1.10.2 Матрица сечений

Матрица сечений ℚ – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по I закону Кирхгофа для сечений. Строки её соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям.

ℚ = {q }. ij

Правила составления матрицы ℚ

q_ij = 1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения.

q_ij = −1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения.

q_ij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i.

Если матрица ℚ составлена для главных сечений, её называют матрицей главных сечений. При этом за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева данного сечения.

Пример. Составим матрицу главных сечений.

ℚ =

Се-

че-

ния

Ветви


	1	2	3	4	5	6

S₁	1	0	0	−1	0	−1
S₂	0	1	0	1	−1	0
S₃	0	0	1	0	−1	−1

I закон Кирхгофа для сечений в матричной форме имеет вид

ℚ I(В) = O

(знаки перед членами уравнения иные, чем в AI^(В) = O, тогда, когда ветвь дерева имеет направление к узлу, вокруг которого выбрано сечение, в противном случае знаки совпадают).

1.10.3 Матрица контуров

Матрица контуров B – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по II закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют контурам, а столбцы – ветвям.

B = {b }. ij

(Формулировка II закона Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений (для цепей постоянного тока) на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю в любой момент времени.

|-------------| ∑ | | Uk = 0, | ---------------

N = N = m − (n − 1). II з-н К гл.конт.

С положительным знаком учитываются напряжения, положительное направление которых совпадает с направлением обхода контура).

Правила составления матрицы B

b_ij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура.

b_ij = −1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура.

b_ij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i.

Матрица B, записанная для главных контуров, называется матрицей главных контуров. За направление обхода контура принимается направление ветви связи этого контура.

Пример. Матрица главных контуров.

B =

Кон-

ту-

ры

Ветви


	1	2	3	4	5	6

I	1	−1	0	1	0	0
II	0	1	1	0	1	0
III	1	0	1	0	0	1

Число строк в матрице B равно числу независимых (главных) контуров.

II закон Кирхгофа для напряжений в матричной форме записывается как:

|-------------| B U (В) = O. | ---------------

Контурный ток замыкается в главном контуре и равен току ветви связи.

С помощью матрицы B можно выразить токи в ветвях через контурные токи

| | | (K)| ||I1 || I(K) = |I(K)| – стол бц ова я м атр иц а кон ту рны х ток ов. | 2(K)| |I3 |

|-----------------| |BT I(K ) = I(K). | ------------------

| | | | || || || I(K) + 0 + I(K ) || ||I(В )|| | 1 0 1| | | | 1(K) (K)3 | | 1(В )| |− 1 1 0| | (K)| |− I1 + I 2 + 0 | |I2 | || || |I1 | || (K ) (K ) || || (В )|| | 0 1 1| � ||I(K)|| = | 0 + I2 + I3 |= |I3 | . || 1 0 0|| | 2(K)| || I (K )+ 0 + 0 || ||I(В )|| | 0 1 0| |I3 | | 1 (K) | | 4(В )| | | | 0 + I2 + 0 | |I5 | | 0 0 1| || (K) || || (В )|| 0 + 0 + I3 I6

I(1В) = I(1K )+ I(3K); I(4В) = I(1K ); I(2В) = − I(1K )+ I(2K); I(5В) = I(2K ); I(3В) = I(2K )+ I(3K); I(6В) = I(3K ).

Матрицы A, ℚ, B позволяют выразить алгебраическим языком топологию схем, что находит широкое применение при расчёте сложных электрических цепей с помощью ЭВМ.

Назад:
1.9 Основные топологические по…