1.10 Топологические матрицы графа

Запишем I уравнение Кирхгофа в матричной форме для графа:

PIC

N        =  N       =  n −  1,
  I з-н К     гл.сеч.

          (
          |  +I    +I    − I                      =   0
(у зел 1 ){     1     2     3     --    --     --
(у зел 2 )   − I1     --    -- +I4      --  +I6   =   0
(у зел 3 )|(
               --     -- +I3      --  − I5  − I6  =   0

Формулировка I закона Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов ветвей (для цепей постоянного тока), соединённых в узле, равна нулю в любой момент времени.

∑-----------|-
|           |
-----Ik-=--0--

Токи, направленные к узлу, учитываются с отрицательным знаком, а от узла – с положительным знаком.

|       |                        |  |  |
|-------|--------В-етви----------|  ||I1||
|       |1   2   3   4   5    6  |  |I |    | |
|---|---|------------------------|  | 2|    |0|
|У  |1  |1   1   -1  0   0    0  |  ||I3||    || ||
|з  |2  |-1  0   0   1   0    1  ×  |I4| =  |0|;
|   |   |                        |  ||  ||    |0|
|л  |4  |0   0   1   0   -1  -1  |  |I5|
|ы  |   |                        |  |I6|

1.10.1 Узловая матрица

Узловой матрицей (матрицей соединений) A называют таблицу коэффициентов уравнений, составленных по I Закону Кирхгофа для узлов.

Матрица A имеет порядок (n 1) m.

A  =  [aij],
где aij – элементы матрицы;

i – номер строки;

j – номер столбца.

Правила составления матрицы A

aij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла.

aij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу.

aij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Если изобразить через I(В) = |  |
|I1|
||  ||
|I2|
| ...|
||  ||
 Im – столбцовую матрицу токов всех ветвей, то матричная запись I закона Кирхгофа будет выглядеть, как

   (В)
A I    = O,
где O – столбцовая нулевая матрица, все элементы которой равны 0.

С помощью матрицы A можно выразить напряжения всех ветвей через потенциалы узлов. Для этого элементы k-ой строки матрицы A следует умножить на φk – потенциал k-го узла, затем сложить элементы k-го столбца.

Рассмотрим j-ую ветвь. В j-ом столбце матрицы A будет «+1» в k-ой строке и «1» в l-ой строке.

PIC

Напряжение j-ой ветви

Uj  =  φk −  φl.
j-ый столбец
1 0
2 0
У..
. ..
.
зk+1– элемент матрицы A.
л.
.. .
..
ыl1
... ...

Введём столбцовую матрицу потенциалов узлов φ порядка (n 1) 1. φn = 0, т.е. один из узлов заземляем, тем самым делая определённым потенциал одного из узлов. Тогда:

  (В )     T
U    =  A   ,
где
        |    |
        || U1 ||
        |    |
        | U2 |
  (В)   ||  ... ||
U     = |    | – ст ол бцо вая м а три ца н ап ряж е ни й вет вей,
        || Uj ||
        |  ... |
        |    |
        |Um  |
AT – транспонированная матрица соединений.

Если A = {aij} – матрица размером (n 1) m, то матрица, транспонированная по отношению к A, есть матрица AT = {aji} размером m (n 1).

1.10.2 Матрица сечений

Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по I закону Кирхгофа для сечений. Строки её соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям.

ℚ  =  {q  }.
        ij

Правила составления матрицы

qij = 1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения.

qij = 1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения.

qij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i.

Если матрица составлена для главных сечений, её называют матрицей главных сечений. При этом за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева данного сечения.

Пример. Составим матрицу главных сечений.

PIC

=
Се-
че-
ния
Ветви
1 2 3 4 5 6







S11001 01
S2010 11 0
S3001 011







I закон Кирхгофа для сечений в матричной форме имеет вид

ℚ I(В) =  O

(знаки перед членами уравнения иные, чем в AI(В) = O, тогда, когда ветвь дерева имеет направление к узлу, вокруг которого выбрано сечение, в противном случае знаки совпадают).

1.10.3 Матрица контуров

Матрица контуров B – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по II закону Кирхгофа. Строки матрицы соответствуют контурам, а столбцы – ветвям.

B  =  {b  }.
        ij

(Формулировка II закона Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений (для цепей постоянного тока) на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю в любой момент времени.

|-------------|
∑             |
|    Uk  = 0, |
---------------

N         =  N        =  m  −  (n −  1).
  II з-н К     гл.конт.

С положительным знаком учитываются напряжения, положительное направление которых совпадает с направлением обхода контура).

Правила составления матрицы B

bij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура.

bij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура.

bij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i.

Матрица B, записанная для главных контуров, называется матрицей главных контуров. За направление обхода контура принимается направление ветви связи этого контура.

Пример. Матрица главных контуров.

PIC

B =
Кон-
ту-
ры
Ветви
1 2 3 456







I 110100
II 0 1 1010
III 1 0 1 0 0 1







Число строк в матрице B равно числу независимых (главных) контуров.

II закон Кирхгофа для напряжений в матричной форме записывается как:

|-------------|
B U (В) =  O. |
---------------

Контурный ток замыкается в главном контуре и равен току ветви связи.

С помощью матрицы B можно выразить токи в ветвях через контурные токи

        |    |
        | (K)|
        ||I1  ||
I(K) =  |I(K)|  – стол бц ова я м атр иц а кон ту рны х  ток ов.
        | 2(K)|
        |I3  |

|-----------------|
|BT I(K ) = I(K). |
------------------

                         |                   |   |    |
||         ||              || I(K) + 0 +  I(K ) ||   ||I(В )||
| 1   0  1|    |    |    |  1(K)     (K)3    |   | 1(В )|
|− 1  1  0|    | (K)|    |− I1   + I 2   + 0 |   |I2  |
||         ||    |I1  |    ||       (K )    (K ) ||   || (В )||
| 0   1  1|   ||I(K)|| =  | 0 + I2   +  I3    |=  |I3  | .
|| 1   0  0||    | 2(K)|    ||  I (K )+  0 +  0   ||   ||I(В )||
| 0   1  0|    |I3  |    |   1    (K)        |   | 4(В )|
|         |              |  0 +  I2   +  0   |   |I5  |
| 0   0  1|              ||             (K)   ||   || (В )||
                            0 +  0 +  I3          I6

I(1В) =  I(1K )+  I(3K);    I(4В) =  I(1K );

I(2В) =  − I(1K )+  I(2K);  I(5В) =  I(2K );

I(3В) =  I(2K )+  I(3K);    I(6В) =  I(3K ).

Матрицы A, , B позволяют выразить алгебраическим языком топологию схем, что находит широкое применение при расчёте сложных электрических цепей с помощью ЭВМ.