Портал ТОЭ

1.4 Комплексное представление гармонических сигналов

Во многих задачах анализа электрических цепей источники электрической энергии имеют переменное во времени напряжение (ток), изменяющееся, например, по гармоническому закону:

a(t) = Am sin (ωt + ψ0 ), (мгн ов енн ое зн ачен ие)

где	A_m	– амплитуда колебаний;
	ω	– угловая частота, рад/с; (ω = 2πf = )
	ψ₀	– начальная фаза;
	f	– циклическая частота, Гц;
	T	– период колебаний, с;
		– фаза в момент времени t.

Гармонические колебания характеризуются также интегральными параметрами:

среднее значение за полупериод (среднее значение за период равно нулю) A_ср = ∫ ₀^T∕2a(t)dt = ≈ 0,638A_m;
действующее значение A = = ≈ 0,707A_m.

Физический смысл действующего значения тока: он равен такому постоянному току, который, проходя по активному сопротивлению, выделяет за время T то же количество теплоты, что и гармонический ток.

Расчёт цепи облегчается, если изобразить грамонические величины векторами на комплексной плоскости.

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу.

Данное число можно записать в показательной форме (в полярной системе координат):

A˙ = Aej ψ,

где A – модуль, ψ – аргумент (фаза);
(j = √ ----
− 1

, в электротехнике i = √ ----
− 1

не используется, т.к. этой буквой обозначается ток).

Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи:

( jα ) A˙ = A cos ψ + jA sin ψ, e = cos α + j sin α .

Либо алгебраическую форму (в прямоугольных координатах):

˙ ( jπ2 − jπ2 ) A = A1 + jA2, e = j; e = − j .

Очевидно, что

∘ ---------- A1 = A cos ψ; A = A21 + A22; A2-- A2 = A sin ψ; ψ = arctg A . 1

Вектор, вращающийся в положительном направлении (против хода часовой стрелки) с угловой скоростью ω может быть выражен следующим образом:

j(ωt+ψ ) jωt jψ ˙ jωt Ame = Ame e = Ame ,

где Ȧ_m = A_me^jψ – комплексная амплитуда, равная вектору в момент времени t = 0.

Множитель e^jωt – оператор вращения. Умножение комплексной амплитуды Ȧ_m на e^jωt означает поворот вектора Ȧ_m на угол (ωt) в положительном направлении (против часовой стрелки).

Записывая комплексную функцию в тригонометрической форме

Amej (ωt+ ψ) = Am cos( ωt + ψ) + jAm sin (ωt + ψ),

заключаем, что функция A_m sin(ωt + ψ) может быть рассмотрена как мнимая часть комплексной функции, взятая без множителя j, или , что тоже самое, как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

[ jωt] a(t) = Am sin(ωt + ψ ) = Im A˙me ;

jωt a(t) ≓ A˙me .

Комплексное действующее значение отличается от комплексной амплитуды в √ --
2 раз:

A˙m A˙ = √---. 2

Если гармонические функции имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы вращаются с одинаковой скоростью, т.е. углы между ними сохраняются неизменными. На рисунке показаны две синусоидальные функции, фазовый сдвиг равен φ = ψ₁ − (−ψ₂) = ψ₁ + ψ₂.

Рис. 1.9:

При равенстве начальных фаз векторы направлены в одну и ту же сторону (совпадают по фазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов на косплексной плоскости, которые представляют собой гармонически изменяющиеся функции, называется векторной диаграммой.

Векторное представление гармонических функций, частоты которых одинаковы, облегчает операции сложения и вычитания этих функций.

Сумме двух функций Ȧ_1m и Ȧ_2m соответствует вектор (Ȧ_1m + Ȧ_2m).

Значительно упрощаются операции дифференцирования и интегрирования функций, представленных комплексными числами.

( ) da- = ωA sin ωt + ψ + π- ≓ ωA ej (ωt+ψ+ π2) = jωA ej(ωt+ψ), dt m 2 m m

где

a = Am sin(ωt + ψ ) ≓ Amej (ωt+ ψ).

Операция дифференцирования гармонической функции заменяется умножением на jω её комплексного изображения.

Для производной n-го порядка

|-----------------------| |dna n jωt | |--n--≓ (jω ) A˙me .| -dt----------------------

∫ Am ( π ) Am j( ωt+ ψ− π) Am j(ωt+ψ ) adt = ----sin ωt + ψ − -- ≓ ----e 2 = ----e . ω 2 ω j ω

Операция интегрирования гармонической функции заменяется делением на jω её комплексного изображения.

Сведём результаты параграфа в таблицу.


Функция-оригинал	Функция-изображение

	Постоянный вектор	Векторная функция

a = A_m sin(ωt + ψ)	Ȧ_m = A_me^jψ	Ȧ_me^jωt
	jωȦ_m	jωȦ_me^jωt
∫ adt		e^jωt

Назад:
1.3 Источники электрической эн…

Вперёд:
1.5 Особенности протекания гар…

1.4 Комплексное представление гармонических сигналов

Новости

Спонсор