Портал ТОЭ

3.6 Резонанс в индуктивно связанных контурах

В индуктивно связанных контурах различают несколько видов резонанса, которые достигаются при изменении реактивных сопротивлений или частоты.

Рассмотрим схему воздушного трансформатора:

X1 = ωL1 − -1---; X2 = ωL2 − -1---; ωC1 ωC2

Z1- = R1 + jωL1; Z2-= R2 + jωL2;

2 2 ---X-M----- ----X-M---- Z-вх = Z1- + Z + Z = R1 + jX1 + R + jX ; -2- ---Н 2 2

( ) ( ) X 2M (R2 − jX2 ) X 2M R2 X 2M X2 Z-вх = R1 + jX1 + ---------2--------= R1 + ----2--- + j X1 − -----2-- . Z 2 Z 2 Z2

При отсутствии во входном сопротивлении реактивной составляющей имеем первый частичный резонанс, т.е.

X 2 X X1 − --M---2-= 0, Z22

что осуществляется изменением X₁ (за счёт C₁).

Тогда

I = -U1--= -----U1------; I = XM--I . 1M R вх X2M-R2- 2M Z2 1M R1 + Z22

При отсутствии в Z₂ реактивной составляющей имеем второй частичный резонанс, т.е. X₂ = 0 (за счёт C₂).

При выполнении условия и первого частичного резонанса имеем:

I = ----U1----; I = XM---I . 1M X2M-- 2M R2 1M R1 + R22

Режим цепи, при котором (X₁ + X_вн) = 0 и установлена оптимальная индуктивная связь между обмотками, называется сложным резонансом (изменяется величина M).

После первого частичного резонанса

X U X Z U I2M = (-------M---1-)-----= -----M---2--1----. XM-R2- R1Z22 + R2X 2M R1 + Z22 Z2

Определим максимум функции I_2M = f(X_M):

2 2 ∂I2M-- = (R1Z--2-+--R2X--M-)Z2U1---−-XM---Z2U12R2XM-----; ∂XM (R Z2 + R X 2 )2 1 2 2 M

∂I2M-- 2 2 2 ∂X = 0 : R1Z 2 + R2X M − 2R2X M = 0. M

Оптимальная индуктивная связь реализуется при

|--------∘----------| | R | |XM = --1Z2. | | R2 | --------------------

Тогда

∘ --- ∘ --- R1- 2 R1- 2 ------R2-Z-2U1----- ---R2-Z-2U1- ---U1----- I2M = 2 R1- 2 = 2 = √ -------; R1Z 2 + R2 R2Z 2 2R1Z 2 2 R1R2

------U1------ -U1-- I1M = R1Z22R2 = 2R . R1 + R2Z2---- 1 2

Если резонансы достигаются в последовательности:

1-ый частичный резонанс X₁ = 0;

2-ой частичный резонанс X₂ = 0;

установление оптимальной индуктивной связи X_M = ∘ R1-
R2 Z₂ = √R1R2---- , в этом случае обеспечивается полный резонанс (величины I_1M и I_2M аналогичные).

I = ---U1------= ----U1------= -U1--; 1M X2M- R + R1R2- 2R1 R1 + R2 1 R2

√ ------- XM R1R2 U1 U1 I2M = ----I1M = --------- ⋅----- = -√--------. R2 R2 2R1 2 R1R2

3.6.1 Передача энергии между индуктивно связанными элементами

Рассмотрим схему. При сдвиге фаз между İ₁ и İ₂, отличающемся от 0 и π, от одного элемента в магнитное поле поступает больше энергии, чем возвращается, а от другого элемента в магнитное поле поступает меньше энергии, чем возвращается. Т.е. энергия передаётся от одного элемента к другому.

Пусть İ₁ = I₁e^jψ₁, İ₂ = I₂e^jψ₂. Рассмотрим выражения для комплексных мощностей первого и второго элементов, обусловленных взаимной индукцией.

ЭДС взаимной индукции

di di e1 = − M ---2,e2 = − M ---1, dt dt

т.е.

˙ ˙ ˙ ˙ U1M = jωM I2,U2M = jωM I1.

∗ ∗ π
˜S1M = U˙1M I1= j ωM I˙2 I 1= j ωM I2I1ej (ψ2− ψ1) = ωM I2I1ej (ψ2− ψ1+ 2) =
( ) ( )
= ωM I I cos ψ − ψ + π- + jωM I I sin ψ − ψ + π- =
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

= − ωM I2I1 sin (ψ2 − ψ1 ) + jωM I2I1 cos(ψ2 − ψ1);

∗ ∗ j(ψ1− ψ2) j(ψ1− ψ2+ π)
˜S2M = U˙2M I2= j ωM I˙1 I 2= j ωM I1I2e = ωM I1I2e 2 =

= ωM I1I2 sin (ψ2 − ψ1 ) + jωM I1I2 cos(ψ2 − ψ1).

P + P = 0; 1M 2M

{ P1M = − P2M = ωM I1I2 sin(ψ1 − ψ2 ); Q = Q = ωM I I cos (ψ − ψ ). 1M 2M 1 2 2 1

Если 0 < (ψ₁ − ψ₂) < π, P_1M > 0, P_2M < 0.

Если 0 < (ψ₂ − ψ₁) < π, P_2M > 0, P_1M < 0.

Пример. Для согласного включения R₁ = 20 Ом, X_L₁ = 80 Ом, R₂ = 30 Ом, X_L₂ = 50 Ом, ωM = 40 Ом, ˙
U = 120 + j20 В.

Требуется определить P, P₁, P₂.

Z = 20 + j80; Z = 30 + j50; Z = j40; -1- -2- -M-

˙ --Z2-−--ZM---- ˙ − j90∘ I1 = 2 U = − j = e , А. Z1Z2-- − Z-M

˙ --Z1-−--ZM---- ˙ √ --− j45∘ I2 = 2 U = 1 − j = 2e , А. Z1Z2-- − Z-M

I˙= I˙1 + I˙2 = 1 − 2j, А.

Мощность всей цепи P = Re [ ]
˙ ∗
U I = Re[(120 + j20)(1 + 2j)] = 80, Вт.

Мощность, поступающая в первую катушку

[ ] ˙ ∗ P1 = Re U I1 = Re [(120 + j20 )(j )] = − 20, В т.

Мощность, поступающая во вторую катушку

[ ∗ ] P = Re U˙ = Re [(120 + j20 )(1 + j)] = 100, В т. 2 I2

Таким образом стрелка первого ваттметра отклонится влево, при изменении включения ваттметра первой катушки он будет измерять мощность, отдаваемую катушкой (меняем подключение обмотки напряжения).

[ ∗ ] P1W = Re (− U˙) I1 = Re [(− 120 − j20) (j)] = 20, В т.

Часть P₂, поступающей во вторую катушку, преобразуется в тепло

( ) 2 √ -- 2 P2I 2 = 30 2 = 60, В т.

Оставшаяся часть P₂ −R₂I₂² = 40 Вт поступает в магнитное поле и затем в первую катушку.

U˙ = j ωM I˙ = j40 (1 − j) = 40 + j40, В; 1M 2 U˙2M = j ωM I˙1 = J 40 (− j) = 40, В.

Мощность, отдаваемая второй катушкой в магнитное поле

[ ] ˙ ∗ P2M = Re U2M I2 = Re [40 (1 + j )] = 40, В т; [ ∗ ] P1M = Re U˙1M I1 = Re [(40 + j40 )j] = − 40, Вт.

Часть этой мощности преобразуется в тепло в первой катушке

R1I 21 = 20 ⋅ 12 = 20, В т.

Остальная часть (−P_1M) − R₁I₁² = 20 Вт возвращается в цепь.

P = R1I 21 + R2I 22 = 20 + 60 = 80, В т.

Сдвиг фаз ˙
U и İ₁ превышает π∕2, поэтому P₁ < 0. ˙
U _1Ma и ˙
U _2Ma – активные составляющие напряжений, обусловленные взаимной индукцией.

_2Ma совпадает по фазе с İ₂, поэтому P_2M > 0,
_1Ma в противофазе с İ₁, поэтому P_1M < 0.

Назад:
3.5 Трансформатор в линейном р…

Вперёд:
Глава 4Трёхфазные цепи…

3.6 Резонанс в индуктивно связанных контурах

3.6.1 Передача энергии между индуктивно связанными элементами

Новости

Спонсор