Портал ТОЭ

4.4 Вращающееся магнитное поле

1. При протекании тока по катушке i = I_m sin(ωt + ψ_i) вокруг неё возникает магнитное поле

B⃗ = Bm sin (ωt + ψB ).

u = L di-= W dΦ--= W S dB--. dt dt dt

Модуль вектора меняется со временем вдоль оси катушки, т.е. поле пульсирующее.

2. Рассмотрим, как возникает вращающееся магнитное поле.

Возьмём две катушки с токами, имеющими разные начальные фазы (сдвиг во времени) и размещённые друг к другу под углом γ (сдвиг в пространстве).

Тогда

{ ⃗B1 = B1m cos ωt; ⃗B2 = B2m cos(ωt + ψ).

С учётом

ejωt + e− jωt cos ωt = -------------- 2

имеем

( | ⃗ 1- ( jωt − jωt) { B1 = B1m e + e ; 2 [ ] ( ) |( B⃗ = 1-B ej (ωt+ ψ) + e− j(ωt+ ψ) = 1- B˙ ejωt+ ∗ e − jωt , 2 2 2m 2 2m B2m

где

Таким образом пульсирующую магнитную индукцию в каждой катушке можно рассматривать, как результат совместного действия двух составляющих, вращающихся в противоположных направлениях с половинной амплитудой и одинаковой угловой скоростью.

Определим суммарную магнитную индукцию с учётом пространственного сдвига:

jγ ⃗B Σ = ⃗B1 + B⃗2e .

Чтобы получить вращение составляющих индукции в одну сторону, необходимо компенсировать составляющие обратного вращения первой катушки за счёт второй, т.е.

1- ˙ − jωt 1- ∗ − jωt jγ B1me + B1m e e = 0; 2 2 jψ jγ B1m + B2me e = 0.

(4.1)

Откуда вытекают условия компенсации:

|--------------| |-------------| |-------------| -B1m--=--B2m,--- γ--−-ψ--=--π,-- -ϕ-=--γ-−--π.-|

Для получения вращающегося магнитного поля, вектор результирующей магнитной индукции которого неизменен по величине и вращается с постоянной скоростью ω, нужно, чтобы между индукциями катушек был сдвиг во времени, определяемый сдвигом в пространстве.

Например, при γ = 90^∘ ψ = π∕2 −π = −π∕2, т.е. ток второй катушки должен отставать от тока первой на 1∕4 периода.

Результирующий вектор поля

⃗ 1- jωt 1- jωt jψ jγ 1- jωt ( − jπ jπ) B Σ = B1me + e e e = Bme 1 + e 2e 2 , 2 2 2

|-----------------| -B⃗Σ-=--Bmej--ωt.-|

(4.2)

(нулевая фаза объясняется тем, что на рисунке не учтён сдвиг во времени между составляющими _Σ)

Результирующее поле вращается со скоростью ω против часовой стрелки в сторону отстающего по фазе вектора индукции, поле – круговое, т.е. B_m = const.

Если изменить направление тока в одной из катушек, т.е. изменить фазу индукции на π, поле изменит направление вращения. Выражение (4.2) будет равно нулю, а выражение (4.1): ⃗
B _Σ = B_me^−jωt.

3. Рассмотрим получение вращающегося магнитного поля с помощью трёхфазной системы.

( || iA = IM sin ωt; ||| ( ) { i = I sin ωt − 2-π ; B M 3 || ( ) ||| 2- ( iC = IM sin ωt + π ; 3

В линейных цепях индукции имеют те же фазы, что и токи

( || ⃗BA = BM sin ωt; ||| ( ) { ⃗ 2- BB = BM sin ωt − 3 π ; || ( ) ||| ⃗ 2- ( BC = BM sin ωt + π ; 3

(без учёта реальных направлений тока, т.е. без учёта временного сдвига)

С учётом лишь пространственного сдвига катушек результирующий вектор

⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ B = jBA + ja BB + ja BC .

Временной сдвиг учитываем с помощью начальных фаз индукций

⃗ [ 2 ∘ ∘ ]
B = jBM sinωt + a sin (ωt − 120 ) + a sin( ωt + 120 ) =
[ 2 ∘ ∘
= jBM sin ωt + a (sin ωt cos 120 − cos ωt sin 120 )+
+a (sinωt cos 120 ∘ + cos ωt sin 120 ∘)].

(sin(α � β ) = sin α cos β � cos α sin β)

{ ( √ -) [ ( ) √ --]
1 3 1 3
⃗B = jBM sin ωt + − --− j ---- sin ωt − -- − cos ωt ---- +
2 2 2 2
( √ --) [ ( ) √ -] }
1 3 1 3
+ − --− j ---- sin ωt − -- + cos ωt ---- .
2 2 2 2

( ( √ --) || 1 3 | || a = − --+ j ---;| | ||| 2 √2--| || ||| 2 1 3 || | { a = − --− j ---;| || √ 2- 2 || | || ∘ 3 | | ||| sin 120 = ----; | |( ||| 2 |) ||( ∘ 1- cos 120 = − . 2

( √ -- √ -- √ -- √ --
⃗ 1- --3- ---3 --3-⋅---3-
B = jBM sin ωt + sin ωt + j sin ωt + cos ωt + j cos ωt+
4 4 4 4
√ -- √ -- √ -- √ -- )
1- --3- --3- --3-⋅---3-
+ 4 sin ωt − 4 j sin ωt − 4 cos ωt + 4 j cos ωt .

( )
3 3
⃗B = jBM --sin ωt + -j cos ωt = − 1,5BM (cos ωt − j sinωt ) =
2 2 |---------------|
| − jωt|
= −--1,5BM--e----- .

Таким образом результирующий вектор имеет постоянный модуль 1,5B_M и вращается с постоянной скоростью ω по часовой стрелке.

Для изменения направления вращения поля достаточно поменять местами токи в двух любых фазах.

При несимметрии токов в фазах вместо кругового появляется эллиптическое вращающееся поле, годографом вектора является эллипс, вектор вращается с переменной угловой скоростью.

Для определения порядка или последовательности чередования фаз используют указатель фаз, в схеме которого лампы и ёмкостное сопротивление имеют одинаковые модули.

Если три конца указателя подключить к трёхфазной симметричной системе, на лампе в фазе B напряжение будет больше и она будет ярче гореть. Если фазу, к которой подключена ёмкость принять за A, то фаза, к которой подключена ярко горящая лампа - фаза B.

Назад:
4.3 Условия безопасности в трё…

Вперёд:
4.5 Принцип действия асинхронн…

4.4 Вращающееся магнитное поле

Новости

Спонсор