Назад:
Глава 5Высшие гармоники в линейны…

Вперёд:
5.2 Характеристики несинусоида…


5.1 Разложение периодической несинусоидальной функции в ряд Фурье

На практике обычно кривые ЭДС, тока, напряжения и др. отличаются от синусоидальных по следующим причинам:

  1. в генераторах распределение магнитной индукции вдоль зазора несинусоидально из-за неточной обработки поверхностей ротора и статора;
  2. цепи содержат нелинейные элементы, которые даже при синусоидальных ЭДС создают несинусоидальные токи;
  3. используются несинусоидальные генераторы сигналов.

Основной метод расчёта таких цепей — метод наложения, когда несинусоидальная величина раскладывается на синусоидальные составляющие, а затем используются известные методы расчёта.

Особенность периодической функции в том, что её значения повторяются через период T: F(t) = F(t + T).

Пример периодической функции, имеющей разрывы непрерывности I рода, приведён на рис. 5.1 существуют конечные пределы функции при приближении к точке разрыва как справа, при t > t1, так и слева при t < t1.

PIC

Рис. 5.1:

Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (имеющая на конечном интервале конечное число разрывов I рода и конечное число экстремумов), может быть представлена в виде бесконечного гармонического ряда — ряда Фурье.

Сумма членов этого ряда совпадает со значением F(t) во всех точках непрерывности, а в точках разрыва даёт среднее арифметическое левого и правого предельных значений F(t), т.е. 1 2[F(t1 − 0) + F(t1 + 0)].

∞ ∑ F (t) = A0 + Amk sin(k ωt + Ψk ), k=1
(5.1)

где A0 – постоянная составляющая; k – номер гармоники; Ψk – начальная фаза k-ой гармоники; ω – основная угловая частота.

Частота ωk < ω1 в k раз, а период Tk < T1 в k раз.

На рис. 5.2 показан пример несинусоидальной кривой тока, состоящей из первой и второй грамоник.

PIC

Рис. 5.2:

Иначе ряд Фурье можно записать в виде

∞ ∑ F (t) = A0 + (Amk cos Ψk sin k ωt + Amk sin Ψk cos kωt ); k=1
∞ ∑ ′ ′′ F (t) = A0 + (A mk sin k ωt + A mk cos k ωt) , k=1
(5.2)

где A′mk = Amk cos Ψk; Amk = ∘ -------------------- ′ 2 ′′ 2 (A mk ) + (A mk );

A′′mk = Amk sin Ψk; Ψk = arctg A′m′k- A′mk.

Амплитуды гармоник определяются по формулам

∫T 1 A0 = -- F (t)dt, T 0
(5.3)

∫T ′ 2 A mk = -- F (t) sin k ωtdt; T 0
(5.4)

∫T 2 A ′m′k = -- F (t)cos k ωtdt; T 0
(5.5)

Хотя в ряду Фурье бесконечное число слагаемых, на практике достаточно максимум девяти.

Периодические несинусоидальные функции можно разбить на две группы.

1. Разложение кривых геометрически правильной формы приводится в справочниках. На рис. 5.3 показан импульсный сигнал, разложение которого представляется в виде

( ) F (ωt ) = 4am-- sin ωt + 1-sin 3ωt + 1-sin 5ωt + 1-sin7 ωt + ... . π 3 5 7

Разложение однополупериодного сигнала, представленного на рис. 5.4, содержит следующие составляющие:

2a ( 1 π 1 1 1 ) F (ωt ) = ---m- --+ -- cos ωt + --cos 2ωt − -----cos 4 ωt + -----cos 6 ωt − ... . π 2 4 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7

На рис. 5.5 показан двухполупериодный сигнал, разложение которого имеет вид

( ) 4a 1 1 1 1 F ( ωt) = ---m- --+ --cos 2ωt − --- cos 4ωt + --- cos 6ωt − ... . π 2 3 15 35

PIC

Рис. 5.3:
PIC
Рис. 5.4:
PIC
Рис. 5.5:

2. Разложение кривых сложной формы производится графо-аналитически

При определении коэффициентов гармоник определённый интеграл заменяется суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции T разбивают на n равных частей: Δt = T- n.

Тогда

n n 1 ∑ 1 ∑ A0 ≈ -- Fk (t)Δt = -- Fk(t), T k=1 n k=1
где Fk(t) – значение функции F(t) при t = (k − 0,5)Δt, т.е. в середине k-го интервала.

∑ n ∑n ′ -2 2- A mk ≈ T Fk(t) sink(k ωt )Δt = n Fk (t) sink(k ωt ), k=1 k=1

2 ∑ n A ′m′k ≈ -- Fk (t)cosk (kωt ), n k=1
где sin k(kωt) и cos k(kωt) – значения функций синуса и косинуса при t = (k − 0,5)Δt.

Обычно n = 18 24.

Если начало отчёта сдвинуто, то изменяются начальные фазы составляющих ряда Фурье. При смещении начала отчёта на t0

F (ωt ) = F (ω (t − t )) = A + A sin (ωt + Ψ ′) + A sin (ωt + Ψ ′) + ..., 1 0 0 m1 1 m2 2
∑∞ F1 (ωt ) = A0 + Amk sin (ωt + Ψ ′k ), k=1
где Ψ′k = Ψk − kωt0.

Периодические несинусоидальные симметричные функции обладают следующими свойствами.

1. Симметрия относительно оси ординат показана на примере кривой на рис. 5.6. F(t) = F(−t) – чётная функция.

∑∞ F (t) = A0 + A ′′mk cos kωt. k=1

В этом случае отсутствуют синусные составляющие.

2. Симметрия относительно начала координат показана на примере кривой на рис. 5.7. −F(t) = F(−t) – нечётная функция.

∞ ∑ ′ F (t) = A0 + A mk sin kωt. k=1

В кривой отсутствует постоянная составляющая и косинусные составляющие.

3. Симметрия относительно оси абсцисс показана на примере кривой, изображённой на рис. 5.8. F(t) = −F(t + T∕2).

∑∞ F (t) = (A ′ sin k ωt + A ′′ cos k ωt) . mk mk k=1,3,5,...

В кривой отсутствует постоянная составляющая и чётные гармоники.

PIC

Рис. 5.6:
PIC
Рис. 5.7:
PIC
Рис. 5.8:

Назад:
Глава 5Высшие гармоники в линейны…

Вперёд:
5.2 Характеристики несинусоида…