Портал ТОЭ

Вперёд:
Глава 6Переходные процессы в лине…

5.5 Высшие гармоники в трёхфазных цепях

Условия возникновения и существования высших гармоник, например в трёхфазном трансформаторе, одинаковы для всех трёх фаз. Каждая фаза повторяет остальные по форме со сдвигаом на треть периода и может быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычно отсутствует.

( ||| uAk = UmAk sin (k ωt + Ψk ); |{ 2 uBk = UmBk sin(k ωt − --kπ + Ψk ); | 3 ||| 2 ( uCk = UmCk sin(k ωt + -k π + Ψk ); 3

(5.16)

Сравнивая полученные выражения для различных значений k, можно заметить, что напряжения гармоник, кратным трём, во всех фазах в любой момент времени имеют одно направление, т.е. образуют систему напряжений нулевой последовательности.

При k = (3n + 1), где n = 0, 1, 2,…, гармоники трёх фаз образуют симметричную систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз первой гармоники, т.е. образуют систему напряжений прямой последовательности.

При k = (3n + 2) гармоники образуют симметричную систему напряжений с последовательностью, обратной первой гармонике, т.е. образуют систему напряжений обратной последовательности.

Таким образом, гармоники 1, 4, 7, 10…образуют прямую последовательность, гармоники 2, 5, 8, 11…— обратную последовательность, гармоники 3, 6, 9, 12…— нулевую последовательность.

Схема соединения фаз влияет на условия возникновения высших гармоник.

1. Рассмотрим схему соединения фаз генератора «звезда» (при условии симметричной отностиельно оси x и начала координат форме кривых).

В любой трёхфазной системе в линейных напряжениях отсутствуют составляющие нулевой последовательности.

Если фазная ЭДС генератора содержит гармоники u_ф = u_1ф + u_3ф + u_5ф, то линейное напряжение определится как

uAB = uA − uB = (u1A − u1B ) + (u3A − u3B ) + (u5A − u5B ) = u1AB + u5AB,

таким образом:

∘ ----------------------- Uл U 21 + U 25 + U 27 + ... √ -- ---- = ∘----2-----2------2-----2--------< 3. U ф U1 + U 3 + U5 + U 7 + ...

(5.17)

2. Рассмотрим трёхфазную систему по схеме «звезда»-«звезда» с нейстральным проводом.

При симметричной нагрузке и включённом нейтральном проводе токи прямой и обратной последовательностей в сумме дают нуль, а ток в нейтральном проводе равен утроенной сумме гармоник нулевой последовательности.

i = i + i + i = (i + i + i ) + (i + i + i )+ (i + i + i ) = 3i ; N A B C 1A 1B 1C 3A 3B 3C 5A 5B 5C 3ф

∘ -------------------------- IN = I 23N + I29N + I215N + ....

(5.18)

В четырёхпроводной системе линейные токи содержат составляющие нулевой последовательности.

3. Рассмотрим трёхфазную систему по схеме «звезда»-«звезда» без нейтрального провода.

При отсутствии нейтрального провода токи в фазах не содержат гармоник нулевой последовательности, в нагрузке от этих токов нет напряжений. Между нулевыми точками генератора и симметричной нагрузки может появляться значительное напряжение, содержащее гармоники нулевой последовательно.

∘ ------------------------ UnN = U 2+ U 2 + U 2 + .... 3 9 15

(5.19)

4. Рассмотрим схему соединения генератора «треугольник».

А. Сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре генератора, равна утроенной сумме гармоник нулевой последовательности:

uAB + uBC + uCA =
= (u + u + u ) + (u + u + u ) + (u + u + u ) =
1AB 1BC 1CA 3AB 3BC 3CA 5AB 5BC 5CA
= 3u3 ф.

Если включить вольтметр в разрыв схемы «треугольника» генератора, он покажет значение

---------------------------- ∘ 2 2 2 U = 3 E 3ф + E 9ф + E 15ф + ....

(5.20)

Эти ЭДС вызывают нагрузочный внутренний ток источника.

Б. В линейном напряжении отсутствует напряжение нулевой последовательности.

∘ ----------------------- U л = U ф = U 2+ U 2 + U 2+ .... 1 5 7

(5.21)

5. Рассмотрим трёхфазную цепь по схеме «треугольник»-«треугольник».

При наличии в фазном токе источника всех нечётных гармоник линейный ток (равный разности соответствующих фазных токов) определится как

√ -∘ ------------------------- I = 3 I2 + I2 + I2 + .... л 1ф 5ф 7ф

Поэтому

√ -- Iл-< 3. Iф

(5.22)

Пример. В схеме, изображённой на рис. 5.11, с симметричным трёхфазным источником и несимметричным приёмником требуется определить показания приборов для замкнутого и разомкнутого состояния ключа, если e_A = E_m1 sin ωt + E_m3 sin(3ωt − Ψ₃).

1. Рассмотрим схему «звезда»-«звезда» без нейтрального провода.

В несимметричной трёхфазной цепи напряжение между нейтральными точками содержит все гармоники.

1-ая гармоника:

U˙ = E√m1-ej0 ∘; U˙ = E√m1--e− j120∘; U˙ = Em√1--ej120∘; A1 2 B1 2 C1 2

Z = R; Z = jωL; Z = − --j- ; -a1 -b1 -c1 ωC

˙U ˙U RA1-+ jBω1L-+ ˙UC1j ωC U˙nN 1 = ----1-----1------------- = UnN 1ejΨnN1; R-+ jωL-+ jωC

U˙A1 − U˙nN 1 ˙UB1 − U˙nN 1 ˙UC1 − U˙nN 1 I˙A1 = --------------; I˙B1 = -------------; I˙C1 = -------j-----. R jωL − ωC-

Рис. 5.11:

Для определения показания ваттметра нужно знать напряжение ˙
U _AC1:

jΨ U˙AC1 = U˙A1 − U˙C1 = UAC1e AC1.

3 гармоника:

˙ ˙ ˙ Em3-- − jΨ3 UA3 = UB3 = UC3 = √ --e ; 2

( ) ˙ 1- --1-- UA3 R + j3ωL + j3 ωC U˙nN 3 = -----1------1--------------- = U˙A3; R + j3ωL + j3ωC

İ_A3 = 0, т.к. İ_N3 = 0; _AC3 = _A3 −_C3 = 0.

Напряжение между нейтральными точками, а также показания приборов электромагнитной системе по схеме рис. 5.11 определяют по следующим формулам:

∘ --------------- ∘ ----------- 2 2 2 2 U = U nN1 + U nN 3; I = IA1 + IA3 = IA1;

˙ ∗ ˙ ∗ P = P1 + P3 = Re [UAC1 I A1] + Re [UAC3 IA3 ] = P1.

2. Рассмотрим схему «звезда»-«звезда» с нейтральным проводом, ток которого будет содержать все гармоники, содержащиеся в ЭДС генератора.

1-ая гармоника: фазные напряжения источника и сопротивления фаз найдены в первой части решения задачи.

Так как _nN1 = 0,

U˙ ˙U U˙ I˙A1 = --A1-; ˙IB1 = --B1-; I˙C1 = --C1-; R j ωL − ω1C-

jΨN1 I˙N 1 = ˙IA1 + ˙IB1 + ˙IC1 = IN 1e .

3-я гармоника: фазные напряжения источника и споротивления фаз найдены в первой части решения задачи.

Так как ˙
U _nN3 = 0,

˙ ˙ ˙ ˙I = UA3--; ˙I = -UB3---; I˙ = -UC3---; A3 R B3 j3 ωL C3 − --1- 3ωC

I˙ = ˙I + ˙I + ˙I = I ejΨN3. N 3 A3 B3 C3 N 3

Показания приборов электромагнитной системы определяют по формулам:

фазный ток I = ;
ток в нейтральном проводе I_N = ;
активная мощность P = Re[_AC1_A1].

Назад:
5.4 Резонансные режимы в цепях…

Вперёд:
Глава 6Переходные процессы в лине…

5.5 Высшие гармоники в трёхфазных цепях

Новости

Спонсор