Портал ТОЭ

6.2 Классический метод расчёта переходных процессов

Анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами R, L, C (рис. 6.2) сводится к решению линейных неоднородных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.

---

---

где i(t) – переходный ток.

Дифференцированием приводим это уравнение к неоднородному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

Порядок дифференциального уравнения определяется числом накопителей энергии в цепи.

Решение дифференциального уравнения:

где i_пр(t) – частное решение неоднородного уравнения, принуждённая составляющая, ток в установившемся режиме, когда переходный процесс закончен (при t = ∞);
i_св(t) – общее решение однородного уравнения, свободная составляющая, ток во время переходного процесса, возникающий вследствие изменения электрических и магнитных полей.

Таким образом здесь используется метод наложения. Физически существует только i(t), а разложение его на i_пр и i_св является математическим приёмом, облегчающим расчёт переходного процесса.

Расчёт принуждённой составляющей сводится к расчёту по известным методам установившегося значения искомой величины в схеме после коммутации.

Для расчёта свободной составляющей следует найти корни характеристического уравнения p_k и n постоянных интегрирования A_k.

Если характеристическое уравнение

имеет n различных корней p_k(k = 1, 2,…,n), то

Корню p_k кратности m_k ≥ 1 соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Чтобы определить постоянные интегрирования A_k, необходимо знать значения искомой величины и всех её производных до (n − 1) порядка включительно в момент времени t = 0+. Для их определения используются законы коммутации.

Составление характеристического уравнения

1. Составляем уравнение электрического состояния цепи для свободного режима (т.е. при устранении вынужденной (принуждающей) силы). Это соответствует схеме с исключёнными источниками – источники ЭДС закорачиваются, ветви с источниками тока размыкаются.

   ---

   ⇒
   

   Рис. 6.3:

   ---

   Например для рис. 6.3:

   
2. Характеристическое уравнение получается приравниванием нулю определителя контурной ℤ^(K)(p) или узловой Y^(У)(p) матрицы. При составлении этих матриц сопротивление индуктивности (ёмкости) считают равным pL_m(1∕pC_m):
3. Характеристическое уравнение получается при Z_вх(p) = 0,Y _вх(p) = 0,
   где Z_вх(p) – входное сопротивление схемы относительно двух зажимов, получающихся в результате размыкания любой ветви схемы;
   Y _вх(p) – входная проводимость схемы относительно произвольной пары узлов схемы.

Корни характеристического уравнения – собственные частоты цепи, т.к. они определяют характер свободных процессов.

Степень характеристического уравнения может быть определена по электрической схеме без составления уравнения: она равна числу основных независимых начальных условий в послекоммутационной схеме после максимального её упрощения и не зависит от числа ЭДС в схеме.

Упрощение заключается в том, что последовательно и параллельно соединённые реактивные элементы должны быть заменены эквивалентными.

---

---

Рассмотрим схему на рис. 6.4. Три реактивных элемента в упрощённой схеме определяют три независимых начальных условия, т.е. порядок характеристического уравнения равен трём.

Свободный процесс происходит в цепи, освобождённой от источников энергии, поэтому свободные токи не могут протекать сколь угодно долго в цепи, где есть активные элементы. Свободные токи должны затухать, в связи с этим действительные части корней p_k характеристического уравнения должны быть отрицательными.

1. Так, при наличии одного корня p = −a
   

   где

   a зависит только от параметров цепи;

   A зависит от параметров цепи, ЭДС, момента включения;

   τ = 1∕|p| – постоянная времени цепи;

   a = 1∕τ – коэффициент затухания цепи.

   ---

   
   

   Рис. 6.5:

   ---

2. При двух корнях p₁ = −a,p₂ = −b свободная составляющая i_св = A₁e^−at + A₁e^−bt изображена на рис. 6.6, пусть b > a.

   ---

   
   

   Рис. 6.6:

   ---

3. При кратных корнях имеем предельный апериодический переходный процесс. p₁ = p₂ = −a, i_св = A₁e^pt + A₂te^pt = (A₁ + A₂t)e^pt (см. рис. 6.7).

   ---

   
   

   Рис. 6.7:

   ---

   Особенность 2-го и 3-го случаев – наличие двух точек перегиба в переходных кривых.

4. При комплексных корнях p_1,2 = −δ � jω₀ свободная составляющая представляет собой синусоиду с затухающей амплитудой (рис. 6.8): где A и ψ – постоянные интегрирования.

   ---

   
   

   Рис. 6.8:

   ---

Определение постоянных интегрирования

1. Схема с одним накопителем энергии имеет одну постоянную интегрирования, для нахождения которой достаточно одного закона коммутации.
2. Схема с двумя накопителями энергии имеет две постоянных интегрирования, в следствие чего требуется 2 уравнения. Второе уравнения составляется для производной свободной составляющей искомой величины.
3. В цепи 3-го порядка – 3 постоянные, необходимы три уравнения, т.е. определение ещё и второй производной i_св(0+)′′.

Алгоритм расчёта переходного процесса

1. Расчёт принуждённого режима после коммутации любым известным методом расчёта.
2. Расчёт свободного режима:
   1. составление характеристического уравнения;
   2. определение его корней.
3. Запись общего решения и определение постоянных интегрирования:
   1. определяются независимые начальные условия (i_L(0) и u_C(0)) из расчёта установившегося режима в схеме до коммутации;
   2. определяются зависимые начальные условия по законам Кирхгофа для момента времени t = 0+.