1.6 Последовательная цепь, содержащая R, L, C

Рассмотрим цепь, к которой приложено синусоидальное напряжение u = Um sin(ωt + ψu)

PIC

Согласно II закону Кирхгофа u = uL + uC + uR.

                                 ∫
                        di    1
Um  sin (ωt +  ψu ) =  L ---+  ---   idt + RIm   sin(ωt  + ψi ).
                        dt    C

Решением данного уравнения относительно тока является только синусоида, поэтому гармонические функции можно заменить комплексными.

                                    I
Umej  ψuejωt =  jωLImej   ψiejωt + ---m--ejψiejωt + RImej  ψiej ωt.
                                   j ωC

Деля уравнение на ejωt, переходим от векторных функций к неподвижным векторам.

            [        (            ) ]
     jψu                       1          jψi
Ume      =    R +  j   ωL  −  ----    Ime    .
                              ωC

Это уравнение электрического состояния последовательной цепи в комплексной форме.

Отновшение

             jψ            (            )
U˙m--    Ume----u-                   -1--
 ˙   =       jψi =  R  + j   ωL  −         =  Z--
 Im     Ime                         ωC
называют полным комплексным сопротивлением цепи Z = R + j(XL XC), где XL XC = X – полное реактивное сопротивление цепи.

Закон Ома в комплексной форме записывается как

|-----------|
|U˙m         |           jψ
|---- =  Z,-|  Z-=  Ze    z,  ψz  =  ψu −  ψi =  φ.
-I˙m---------|

Из уравнения закона Ома можно найти выражение для мгновенного тока

        [        ]
i =  Im   ˙I  ejωt  =  I  sin( ωt +  ψ ).
           m           m             i

Комплексное сопротивление можно изобразить на комплексной плоскости в виде гипотенузы с катетами R и jX. Это треугольник сопротивлений.

PIC

При X > 0 характер цепи – активно-индуктивный (φ > 0);
при X < 0 характер цепи – активно-ёмкостный (φ < 0).

      ∘  --2------2                X--
Z  =     R   + X   ,   φ =  arctg    ;   R  =  Z cos φ,    X  =  Z sin φ.
                                   R

Комплексная схема замещения цепи представляется в виде

PIC PIC

U˙  =  I˙R,    ˙U   =  − jX   ˙I,   U˙  =  jX   ˙I.
  R             C          C        L       L

Для построения векторной диаграммы необходимо предварительно задать начальную фазу тока (если она не задана). Отложим ток с ψi = 0. Построение векторов напряжений начинается с точки минимального потенциала, которая размещается в начале координат. Таким образом векторы напряжений строятся последовательно с ободом схемы замещения электрической цепи против направления тока, следовательно, на диаграмме направление этих векторов обратное, нежели на электрической схеме.

Векторная диаграмма комплексных потенциалов схемы называется топографической диаграммой.