Назад:
2.4 Анализ электрических цепей…

Вперёд:
2.6 Принцип наложения для токо…


2.5 Метод узловых потенциалов

За неизвестные аргументы принимаются потенциалы узлов NУП = n − 1, т.к. потенциал одного из узлов определён (его условно заземляют) и равен нулю.

Исходным для обоснования метода является закон Ома.

[ ] | (В) (В ) (В) (В) (В)| I = Y U + E − J | A;

(В) (В) (В) (В) (В) (В ) A I = O = A Y U + A Y E − A J ;

(В) (В) (В) (В) (В) A Y U = A J − A Y E .

С другой стороны, U(В) = ATφ.

(В) T (В) (В ) (В) A Y A φ = A J − AY E .

После обозначения Y(У) = AY(В)AT, J(У) = AJ(В) − AY(В)E(В), получим узловые уравнения:

|---------------| Y (У)φ = J(У) , -----------------
где Y(У) – квадратная матрица узловых проводимостей размера (n − 1) (n − 1);
J(У) – столбцовая матрица узловых токов.

Пример.

PIC
n = 4
m = 6
Граф схемы
PIC

Принимаем, что φ4 = 0.

Узловая матрица:

|| || |− 1 − 1 1 0 0 0| A = || 0 1 0 0 − 1 1|| ; | 1 0 0 − 1 1 0|

Матрица проводимостей ветвей:

| | ||g1 0 0 0 0 0 || | 0 g 0 0 0 0 | | 2 | (В ) || 0 0 g3 0 0 0 || G = | 0 0 0 g4 0 0 |, || || | 0 0 0 0 g5 0 | | 0 0 0 0 0 g6 |
где gk = 1∕Rk, k = 1,…, 6.

Матрица узловых проводимостей:

| | ||− 1 0 1 || | | |− 1 1 0 | |− g1 − g2 g3 0 0 0 | | | (У) || || || 1 0 0 || G = | 0 g2 0 0 − g5 g6 | | 0 0 − 1 |= | g1 0 0 − g4 g5 0 | || || ◟--------------◝ ◜--------------◞ | 0 − 1 1 | A× G(В) | 0 1 0 | ◟-----◝ ◜-----◞ AT || || |(g1 + g2 + g3 ) − g2 − g1 | = || − g2 (g2 + g5 + g6) − g5 ||. | − g − g (g + g + g )| 1 5 1 4 5

При умножении матрицы размера k l на матрицу размером l r получается матрица размером k r.

Матрица токов источников тока ветвей:

| | | 0 | | | ||− J2 || (В ) | 0 | J = || ||. | 0 | | 0 | || 0 ||

Матрица ЭДС источников ЭДС ветвей:

| | | 0 | || || | E2 | (В ) | E3 | E = || || . |− E4 | || 0 || | 0 |

Матрица узловых токов:

( ) (У) (В) (В ) (В ) J = A J − G E ;

| | | | | 0 | | 0 | | | | | || g2E2 || ||− J2 − g2E2 || (В ) (В) | g3E3 | (В ) (В) (В ) | − g3E3 | G E = || || ; J − G E = || || ; |− g4E4 | | g4E4 | | 0 | | 0 | || 0 || || 0 ||

| | | | | 0 | || || ||− J2 − g2E2 || || || |− 1 − 1 1 0 0 0| | − g E | |(J2 + g2E2 − g3E3 ) | J (У) = || 0 1 0 0 − 1 1|| × || 3 3 || = || (− g2E2 − J2) ||. | 1 0 0 − 1 1 0| | g4E4 | | (− g E ) | | 0 | 4 4 || || 0

Таким образом, узловые уравнения принимают вид:

| | | | || (У )|| ||g11 g12 g13|| ||φ1 || |J1 | |g g g | × |φ | = | (У )| . | 21 22 23| | 2| ||J2 || |g31 g32 g33| |φ3 | |J(У )| 3

Порядок составления матриц

  1. Столбцовая матрица φ – матрица неизвестных потенциалов.
  2. Матрица узловых проводимостей Y(У) – квадратная. На главной диагонали записываются суммы проводимостей ветвей, присоединённых к соответствующему узлу – собственные узловые проводимости, Y pp > 0.

    Остальные элементы матрицы Y ij – общие узловые проводимости, которые равны сумме проводимостей ветвей, присоединённых между узлами i и j, Y ij < 0.

    Матрица Y(У) симметрична, т.е Y ij = Y ji и Y(У) = [ (У)] YT.

  3. Столбцовая матрица узловых токов J(У) состоит из элементов Jp(У), равных сумме токов источников тока, присоединённых к p-му узлу, включая и токи источников тока, эквивалентных источникам ЭДС.

    Jp(У) > 0, если ток направлен к узлу, в противном случае Jp(У) < 0.

После нахождения неизвестных потенциалов по закону Ома определяются токи ветвей

|-----------------| |˙ ±-U˙i-±--E˙i- | Ii = , ----------Zi-------
(знак «+» у слагаемых числителя используется в том случае, если направление тока İi совпадает с направлением U˙i или Ėk).

Частным случаем метода узловых потенциалов является метод двух узлов для схем, имеющих лишь два узла. После заземления одного из узлов определяется узловое напряжение:

PIC

|---------------------------| | ∑ ∑ | |U = ---Ekgk∑--+-----Jk--, | 12 gk | ----------------------------
-----E1-∕R1--−-E3-∕R3--+--J------- U12 = . 1∕R1 + 1∕R2 + 1∕R3 + 1∕R4

Слагаемые Ekgk и Jk суммируются с положительным знаком, если они направлены к узлу 1.

С учётом данного метода можно привести следующие преобразования схем.

1. Рассмотрим фрагмент схемы, состоящей из m параллельных ветвей.

PIC

Заземлим 2-ой узел. U = φ1 − φ2 = φ1.

Уравнение по методу узловых потенциалов представляется в виде:

g φ = J (У), 11 1 1
∑ m g11 = gk, гд е gk = 1∕Rk, k=1
∑m ∑m J (У) = J + g E − I (т.к. I в ых оди т из узл а 1), 1 k k k k=1 k=1
∑m ∑m ---k=1-Jk∑-+-----k=1-gkEk-- ∑---I----- U = m g − m g . k=1 k k=1 k

Вводя обозначения

∑ ∑ ---1-- ----Jk-+-----gkEk-- R = ∑ ; E = ∑ , gk gk
получим U = E − RI.

Данному уравнению соответствует следующая схема:

PIC

Таким образом, ряд параллельных ветвей можно заменить эквивалентной ветвью. При определении эквивалентной ЭДС, слагаемые Ekgk и Jk суммируются с положительным знаком, если они направлены к узлу 1.

2. Аналогичное преобразование можно осуществить для источников тока.

PIC

⇒
PIC

|-----∑m--------------∑m---------| | ---k=1-Jk∑Rk---+----k=1-Ek--| |J = m R , -----------------k=1---k----------
|--------------| | ∑m | | | |R = Rk . -------k=1-----|

Назад:
2.4 Анализ электрических цепей…

Вперёд:
2.6 Принцип наложения для токо…