2.6 Принцип наложения для токов ветвей
Произведём следующее действие \(\mathbb {R}^\K \mathbb {I}^\K = \mathbb {E}^\K \vrule \times \left [ \mathbb {R}^\K \right ]^{-1}\).
С другой стороны, \(\mathbb {E}^\K = \mathbb {B} \mathbb {E}^\B - \mathbb {B} \mathbb {R}^\B \mathbb {J}^\B \).
Тогда \(\mathbb {I}^\B = \mathbb {B}^\T \mathbb {I}^\K = \mathbb {B}^\T \left [ \mathbb {R}^\K \right ]^{-1} \mathbb {B} \mathbb {E}^\B - \mathbb {B}^\T \left [ \mathbb {R}^\K \right ]^{-1} \mathbb {B} \mathbb {R}^\B \mathbb {J}^\B \).
Выражение \(\mathbb {B}^\T \left [ \mathbb {R}^\K \right ]^{-1} \mathbb {B} = \mathbb {G} = \left [ g_{hl} \right ]\) является матрицей входных и взаимных проводимостей.
Выражение \(-\mathbb {B}^\T \left [ \mathbb {R}^\K \right ]^{-1} \mathbb {B} \mathbb {R}^\B = -\mathbb {G} \mathbb {R}^\B = \mathbb {K}^{(i)} = \left [ k_{hl}^{(i)} \right ]\) – является матрицей коэффициентов передачи тока.
Следовательно, \(\mathbb {I}^\B = \mathbb {G} \mathbb {E}^\B + \mathbb {KJ}^{(i)} \mathbb {J}^\B .\)
Матрицы \(\mathbb {G}\) и \(\mathbb {K}^{(i)}\) являются квадратными и имеют размер, равный числу ветвей \(m\).
Алгебраическое выражение для токов ветвей
При \(l=h\) проводимость \(g_{hh}\) называется входной проводимостью ветви \(h\) относительно зажимов источника \(E_h\).
При \(l\neq h\) проводимость \(g_{hl}\) называют взаимной проводимостью ветвей \(h\) и \(l\).
Проводимость \(g_{hl} = I_h/E_l\), если в цепи действует только один источник \(E_l\), а остальные исключены (источники ЭДС замкнуты, а источники тока разомкнуты).
Безразмерные коэффициенты \(K_{hl}^{(i)}\) матрицы \(\mathbb {K}^{(i)}\) называются коэффициентами передачи тока
\(K_{hl}^{(i)} = I_h/J_l\) – коэффициент передачи тока в ветвь \(h\) из ветви \(l\);
\(K_{hh}^{(i)} = I_h/J_h\) – собственный коэффициент передачи тока;
\(I_h' = g_{hl} E_l\) – частичный ток в ветви \(h\), создаваемый действием только ЭДС в ветви \(l\);
\(I_h' = K_{hl}^{(i)} J_l\) – частичный ток в ветви \(h\), создаваемый действие только источника тока в ветви \(l\).
(Остальные источники ЭДС в других ветвях закорочены, а источники тока разомкнуты.)
Ток \(I_h\) определяется совместным действием источников \(E_l\) и \(J_l\) в ветви \(l\).
Сущность принципа наложения заключается в том, что полный ток ветви от действия всех источников энергии равен сумме частичных токов от действия каждого источника в отдельности.
Принцип наложения основан на линейности уравнений, связывающих напряжения и токи в линейных цепях.
На принципе наложения основан одноимённый метод: оставляя в схеме по одному источнику энергии, с учётом внутренних сопротивлений остальных источников определяются частичные токи ветвей, например, методом свёртывания. Затем суммированием частичных токов определяются полные токи ветвей.
Пример. Определить токи методом наложения.
Частичные схемы
