Портал ТОЭ

2.6 Принцип наложения для токов ветвей

Произведём следующее действие ℝ^(K)I^(K) = E^(K) �⁻¹.

С другой стороны, E^(K) = BE^(В) − Bℝ^(В)J^(В).

Тогда I^(В) = B^TI^(K) = B^T−1BE^(В) − B^T−1Bℝ^(В)J^(В).

Выражение B^T−1B = G = является матрицей входных и взаимных проводимостей.

Выражение −B^T−1Bℝ^(В) = −Gℝ^(В) = K⁽ⁱ⁾ = – является матрицей коэффициентов передачи тока.

Следовательно, I^(В) = GE^(В) + KJ⁽ⁱ⁾J^(В).

Матрицы G и K⁽ⁱ⁾ являются квадратными и имеют размер, равный числу ветвей m.

Алгебраическое выражение для токов ветвей

При l = h проводимость g_hh называется входной проводимостью ветви h относительно зажимов источника E_h.

При l≠h проводимость g_hl называют взаимной проводимостью ветвей h и l.

Проводимость g_hl = I_h∕E_l, если в цепи действует только один источник E_l, а остальные исключены (источники ЭДС замкнуты, а источники тока разомкнуты).

Безразмерные коэффициенты K_hl⁽ⁱ⁾ матрицы K⁽ⁱ⁾ называются коэффициентами передачи тока

K_hl⁽ⁱ⁾ = I_h∕J_l – коэффициент передачи тока в ветвь h из ветви l;

K_hh⁽ⁱ⁾ = I_h∕J_h – собственный коэффициент передачи тока;

I_h′ = g_hlE_l – частичный ток в ветви h, создаваемый действием только ЭДС в ветви l;

I_h′ = K_hl⁽ⁱ⁾J_l – частичный ток в ветви h, создаваемый действие только источника тока в ветви l.

(Остальные источники ЭДС в других ветвях закорочены, а источники тока разомкнуты.)

Ток I_h определяется совместным действием источников E_l и J_l в ветви l.

Сущность принципа наложения заключается в том, что полный ток ветви от действия всех источников энергии равен сумме частичных токов от действия каждого источника в отдельности.

Принцип наложения основан на линейности уравнений, связывающих напряжения и токи в линейных цепях.

На принципе наложения основан одноимённый метод: оставляя в схеме по одному источнику энергии, с учётом внутренних сопротивлений остальных источников определяются частичные токи ветвей, например, методом свёртывания. Затем суммированием частичных токов определяются полные токи ветвей.

Пример. Определить токи методом наложения.